Tema 2. VECTORES

TEMA 2. VECTORES

ADICIÓN DE VECTORES

MÉTODO TRIGONOMÉTRICO O DE DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

PROCEDIMIENTO:

1.      Graficar los datos  en un diagrama de fuerzas, incluyendo los vectores componentes.

2.      Obtener los valores de los vectores componentes.

3.      Elaborar una tabla que muestre los valores de los  vectores componentes

4.      Calcular los componentes del vector resultante ( Rx , Ry)

5.      Calcular, con los resultados anteriores, la magnitud del vector resultante.

6.      Calcular el ángulo del vector resultante.

7.      Graficar el vector resultante.

 FÓRMULAS:

V x = Vcos q

V y = Vsen q

R² =  Rx² + Ry²

q = tan ^–1 (Ry/Rx)

Las fórmulas para adición de vectores se obtuvieron de la siguiente manera:

TEOREMA DE PITÁGORAS:

 

            

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

sen q = C.O. /H               sen q = Vy / V                           Vy = V sen q

cos q = C.A. /H                cos q = Vx / V                          Vx = V cos q

tan q = C.O. /C.A.           tan q = Vy / Vx                          q = tan^-1 (Vy / Vx)

EJERCICIOS:

INDICACIONES: Diagramar todos los ejercicios, midiendo los ángulos desde el eje positivo X

2.1 Encuéntrense las componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores: a) Una fuerza de 600 N dirigida a 41° SE. b) Un desplazamiento de 520 m a 110° a partir del eje X (+). R: 453 N y –394 N,  -178 m y 489 m.

2.2 Encuéntrense las componentes X e Y de los siguientes vectores: a) 420 N a 35° NO, b) 140 Km/h  a 180°, c) 720 m a 225°.

2.3  Encuéntrense las componentes X e Y de un desplazamiento de 25 m  a un ángulo de 210º.   R:  -21.7 m ,  -12.5 m

2.4 Calcular las componentes X e Y de una fuerza de 1000 N en un ángulo de 130º con respecto al eje X.

2.5 Se requiere un empuje hacia arriba de 80 N para levantar una hoja de ventana. ¿Qué fuerza a lo largo de una palanca con un ángulo de 34° con la pared se requiere para levantar la hoja de la ventana? R: 96.5 N.

2.6 Un equipo de topógrafos traza los desplazamientos sucesivos de A = 90 m a 60°, B = 45 m  a 0° , C = 20 m a 320°. Encuéntrese el desplazamiento resultante

2.7  Un cable arrastra un carro de una mina con una fuerza de  120 N en una dirección de 37º sobre la horizontal. Encuentre las componentes de esta fuerza. R: 95.84 N , 72.22 N.

2.8 Calcular las componentes horizontal y vertical de los siguientes vectores: (trace los vectores)

a) A = 300 N , q = 85º

b) B = 600 m ,  q = 126º

c) C = 80 KgF, q = 165º

2.9  Una fuerza de 50 N ejerce presión sobre el plano XY en un ángulo de 40º. Encuentre sus componentes X e Y. Repita el ejercicio para ángulos de 200 y 310º.         R: 38.3 N, 32.1 N ; -47.0 N -17.1 N ; 32.1 N, -38.3 N.

2.10  Determine la resultante de las fuerzas de la siguiente figura. De el ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje X +.ESPACIO PARA DIAGRAMA

                                                                      

                                                                              

                                                                   

                                                                       

                                                

                                                   

2.11 Un objeto pasa por los siguientes desplazamientos sucesivos en el plano XY:25 cm en  q = 0°  y 45 cm en q = 110º. Calcule el desplazamiento resultante. R: 43.4 cm a 77.2º

2.12 Encuéntrese la resultante de las siguientes fuerzas perpendiculares: a)  A = 200 N , 0º

B = 345 N, 270º,  C = 890 N, 90º ; b) A = 673 KgF, 180º, B = 492 KgF , 90º.

2.13 Una cadena se enrolla alrededor de la defensa de un automóvil y fuerzas  de 400 N y 280 N se ejercen en ángulo recto una con respecto a la otra. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza resultante? R: 488.26 N

 2.14 Tres fuerzas tienen sus componentes verticales y horizontales según se indica:

FUERZA	X	Y
A	20 N	5 N
B	20 N	25 N
C	15 N	15 N

A)    ¿Qué fuerza forma un ángulo mayor de 45° con la horizontal?

B)    ¿Qué fuerza forma un ángulo de 45° con la horizontal?

C)    ¿Cuál es la componente horizontal de la resultante de estas fuerzas?

D)    ¿Cuál es la componente vertical de la resultante de estas fuerzas?

E)     Escriba una ecuación matemática que sirva para calcular la magnitud de la resultante

F)     Escriba una expresión trigonométrica a partir de la cual se pueda encontrar la dirección de la resultante

2.15 Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un objeto. La fuerza F1  es de 40 N y se dirige a lo largo del eje de las Y (+) . La resultante de las dos fuerzas , R es de 27 N y se dirige a lo largo del eje de las X (+), ¿Cuál es la magnitud y dirección de F2?

2.16 Tres barcas ejercen fuerzas en un gancho de amarre. ¿Cuál es la fuerza resultante en el gancho si la barca A ejerce una fuerza de 420 N. la barca B ejerce una fuerza de 150 N y la barca C ejerce una fuerza de  500 N ? Ver figura. R: 853 N, 101.7º (-78.29°) ESPACIO PARA DIAGRAMA

                                                                                                                   

 

                                                                                

                                                                                                   

 

2.18 Partiendo del origen de coordenadas, se realizan los siguientes desplazamientos en el plano XY: 70 mm en dirección +Y, 35 mm en dirección -X, 56 mm a 150º y 90 mm a 240º. Calcular el desplazamiento resultante.

2.19* El ángulo entre dos vectores A y B es de 37°. El vector A tiene una magnitud de 8.0 unidades. El vector C = B – A es perpendicular a A y tiene una magnitud de 6.0 unidades. Encontrar la magnitud del vector B y del vector D = A + B

2.20 Calcular la resultante y la equilibrante de las siguientes fuerzas coplanares: 200 N a 0º, 140 N a 30º y 430 N a 150º.

2.21 La componente X de un desplazamiento es de 450 m. Calcular el desplazamiento si éste forma un ángulo de 70º con dicha componente. ¿Cuál es el valor de la componente Y? 

2.22 ¿Qué desplazamiento se debe sumar a otro de 60 cm en la dirección X+ para que el desplazamiento resultante sea de 95 cm a 25º?       

2.23* Tres fuerzas actúan sobre una masa. Una fuerza de 16 N  hace un ángulo de 45º con el eje de las X, la segunda fuerza de 20 N hace un ángulo de 135º con el eje de las X. La fuerza neta que actúa sobre la masa es de 12 N y está dirigida a lo largo del eje Y. Encuentre magnitud y dirección de la tercera fuerza. R: 13.7 N a -78º.

2.24* Se desea sumar el vector B al vector A para producir un vector resultante en la dirección Y, el cual tiene una magnitud de 18 m. Si A mide 30 m  en 180º, ¿ Cuáles serían las componentes de B?

2.25* ¿Cuál es la tercera fuerza que debe sumarse a las dos siguientes para producir una resultante cero: 30 N en 70º y 80 N en 135º? R: 96.6 N a -61.4º

2.26** Un cuarto tiene un techo de 2.5 m de alto y el piso mide 3 m x 5 m. Calcule la longitud de la diagonal que va de un rincón del techo hasta el rincón opuesto del piso. ¿Qué ángulo forma esa línea con el piso? R: 6.34 m , 23.21°

2.27* Una fuerza A se suma a otra que tiene las componentes X e Y de 3 N y -5 N . La resultante de ambas fuerzas se encuentran en la dirección negativa X y posee una magnitud de 4 N. Calcule las componentes horizontal y vertical de A. R: -7 N , 5 N

2.28* Dos fuerzas A y B actúan en el plano XY. La fuerza A es de 70 N  y se encuentra a lo largo del eje Y (+). La fuerza B tiene 50 N y se encuentra a 43º debajo del eje X (+). Si B se resta a A, ¿Cuál será la fuerza resultante?

2.29* Dos desplazamientos A y B se encuentran en el plano XY. El desplazamiento A es de 25 cm  en 130º, y B mide 15 cm en la dirección negativa X. Encuentre el desplazamiento que resulta al restarle A a B. R: 19.2 cm a -86.8º.

2.30* ¿Cuál es la tercera fuerza que debe sumarse a las dos siguientes para  producir una resultante cero: 37 N en 110º y 24 N en 230º?

2.31 ¿Qué desplazamiento se debe sumar a otro  de 50 cm en la dirección X (+)  para que el desplazamiento resultante  sea de 85 cm a 25°? R: 44.96 cm a 53.02°.

2.32 El componente Y de una velocidad que tiene un ángulo de 47° con el eje de las X tiene una magnitud de 5.2 m/s, a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad? b) ¿Cuál es la magnitud de la componente X de la velocidad?

2.33 Cinco vectores con magnitud igual de 5 m tienen los siguientes ángulos direccionales con respecto al eje de las  X: + 37° (1° y 2° cuadrantes), + 45° (3° y 4° cuadrantes) y –Y ¿Cuál es la resultante de los vectores? R: - 6.0 m en Y.

2.34 Dos fuerzas A y B actúan en el plano XY. La fuerza A es de 50 N y se encuentra a lo largo del eje Y (+). La fuerza B tiene 40 N y se encuentra a 30° debajo del eje X(+). Si B se resta a A, ¿Cuál será la fuerza resultante? R: 78.10 N a –63.67°.

2.35 Una caja pesada se jala con una cuerda sobre un piso de madera. La cuerda ejerce un ángulo de 60° con el piso. Sobre la cuerda se ejerce una fuerza de 75 N, ¿Cuál es la componente de la fuerza paralela al piso?

2.36 Un avión vuela a 525 Km /h en dirección de 149°, ¿Cuál es la componente mayor  de la velocidad del avión?¿Por qué?

2.37 Una fuerza de 40 N actúa a 30° y una segunda fuerza de 78 N actúa a 60°. Determine la fuerza resultante y la magnitud y dirección de la fuerza que produce el equilibrio.

2.38 Un barco zarpa de un puerto en dirección a otro puerto situado a 500 Km al sur. Antes de que pueda moverse se desata una tormenta que lo lleva 100 Km al este. ¿A qué distancia se encuentra el barco de su destino?¿En qué dirección debe navegar para llegar a su destino?